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星の半径の計算

星の半径を求めるにはいくぶん長い作業が必要です。たくさんのSkyServerプロジェクトで 使ってきた色々なツールを一緒に使わなければなりません。最も大きい星でさえ、非常 に遠くにあるので地上からは一つの点に見えます。つまり、直接その半径を測定するこ とはできません。幸運なことに、星の光度を知ることができれば、簡単に測定できる その他の量と合わせて半径を計算することができます。

星の光度、すなわち放射される全エネルギーは二つの量で決まります。星の表面温度と 表面積です。二つの星の表面積が同じなら、高温の星の方がより放射エネルギーが多くなります。二つ の星が同じ温度なら、表面積が大きいほうが放射エネルギーが多くなります。星の表面積は半径 の二乗に比例します。(球状の星を仮定しています)

星の光度は次の式で与えられます。

L = 4pR2s T4,

Lは光度で、単位はワット、Rは半径で単位はメートル、s はステファン・ボルツマン定数(5.67*10-8Wm-2K-4) Tは星の表面温度で単位はケルビンです。

星の温度はそのB-V色指数と関係があります。下の表はB-V等級に基づいて星の温度を 求める助けになるでしょう。

B - V

表面温度(ケルビン)

-0.31

34000

-0.24

23000

-0.20

18500

-0.12

13000

0.0

9500

0.15

8500

0.29

7300

0.42

6600

0.58

5900

0.69

5600

0.85

5100

1.16

4200

1.42

3700

1.61

3000

星の半径を太陽半径との比の形で求めようとすれば、実際の計算はいくぶん簡 単になります。Lsを太陽の光度、Lを測りたい星の光度、Tsを太 陽の温度、Tをその星の温度、Rsを太陽の半径、そしてRをその星の半径と しましょう。

光度の比は次のように表すことができます。

L/Ls = (4pR2 sT4)/(4pRs2 sTs4) = (R/Rs)2(T/Ts)4

比R/Rsについて解くと、次の式を得ます。

R/Rs = (Ts/T)2(L/Ls)1/2

B-Vの値を見ることで、上のテーブルから温度のおよその値を求めることができます。 比L/Lsを求めるために、星の絶対等級を使うことができます。等級は対数目盛 りで表されていて、5等級小さくなるごとに星は100倍明るくなります。したがって L/Lsは次の式から求めることができます。

m - ms = -2.5logL + 2.5logLs

ですから

L/Ls = 100.4Dm,

ここでDm = ms - mです。

シリウスを例にとってみましょう。見かけの等級は-1.44、B-Vの値は0.009、そして視差は 379.21ミリ秒角です。視差から距離を求めると、

d = 1/p = 1/.37921 = 2.63パーセクになります。

その絶対等級は

M = m - 5 log d + 5 = -1.44 - 5 log (2.63) + 5 = 1.46となります。

太陽は(B-V)=+0.65で温度は5800Kです。上の表から、シリウスの温度は約9500Kです。太陽の 絶対等級は4.83ですから、等級の差は Dm =3.37 となります。 以上をまとめると、

R/Rs = (5800/9500)2(100.4x3.37)1/2 = 1.76となります。

シリウスは太陽のおよそ1.76倍の半径を持っているのです!

補足課題 1. 下に与えられた星の半径を求 めてください。V、B-V、視差は ヒッパルコスデータベースで調べてください。

星の名前

RA

Dec

半径

ベテルギウス

88.79

7.41

 

バーナードの星

269.5

4.6

 

ベガ

279.23

38.78

 

北極星

37.95

89.26

 

補足課題 2. ヒッパルコスデータベースから色々な星を調べてください。白色矮星から超巨星まで、 色々な種類の星を調べるようにしてください。それぞれの星の半径を求めてください。